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退化情形下高斯-賽德爾迭代法的幾個問題
陳亮; 孫德鋒; 卓金全 湖南大學數學與計量經濟學院; 長沙410082; 香港理工大學應用數學系; 香港; 新加坡國立大學數學系; 新加坡
關鍵詞：線性方程組 無約束凸二次規劃問題 分塊坐標下降法
摘要：高斯-賽德爾迭代法是一種經典的求解線性方程組的迭代算法,它對數值線性代數及數值最優化的發展產生了深遠的影響.本文主要討論求解系數算子自伴隨且半正定但未必正定的線性方程組的(即退化情形的)高斯-賽德爾迭代法.我們回顧該算法收斂性分析的發展歷史,并從與線性方程組等價的無約束凸二次規劃問題出發,討論基于高斯-賽德爾迭代的分塊坐標下降法的收斂性,從而等價地得出高斯-賽德爾迭代法求解這類線性方程組的收斂性.與此同時,我們還將討論與高斯-賽德爾迭代法密不可分的對稱高斯-賽德爾迭代法,對比兩者收斂性分析的異同.事實上,這其中的不同之處既促使了本文給出無約束凸二次規劃問題分塊坐標下降法的收斂性證明,又為很多相關問題的后續研究提供了動機.最后,基于本文內容,我們將提出一些與之密切相關但尚未解決的問題,并把它們作為進一步深入研究的對象.
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